| Admin | Дата: Суббота, 17.05.2008, 19:24 | Сообщение # 1 |
 General Admin
Группа: Администраторы
Сообщений: 502
Статус: OffLine
| • Плоскостью называется поверхность, обладающая следующими свойствами:
а) если две точки прямой принадлежат поверхности, то и каждая точка этой прямой принадлежит этой же поверхности;
б) если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку;
в) через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
• Через прямую и точку вне этой прямой можно провести плоскость и притом только одну;
• Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну;
• Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.
• Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Признаки параллельности прямой с плоскостью:
• Теорема: Если прямая и плоскость перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.
• Теорема: Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна этой плоскости.
• Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Признаки параллельности двух плоскостей.
• Теорема: Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Теорема:Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Параллельные плоскости обладают следующими свойствами:
• Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны;
• Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости;
• Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.
Параллельные и скрещивающиеся прямые.
• Две прямые в пространстве могут располагаться так, что они не будут пересекаться, сколько бы их ни продолжали. При этом прямые могут быть параллельны, а могут и не быть параллельны.
• Признаки параллельности прямых в пространстве:
- Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны.
- Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
• Теорема: Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Две .прямые, через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися. Примером скрещивающихся прямых могут быть две такие прямые, одна из которых пересекает какую-то плоскость, а другая лежит в этой плоскости, и не проходит через точку пересечения первой прямой с плоскостью.
• Под углом между скрещивающимися прямыми понимают угол, который получится, если из произвольной точки пространства провести прямые, параллельные данным прямым и одинаково с ними направленные.
• Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекается с плоскостью и образует прямой угол со всякой прямой, проведенной на плоскости через их точку пересечения. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра.
• теорема: Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым, проведенным на плоскости через точку пересечения прямой и плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой, проведенной на плоскости через эту точку.
• Через всякую точку пространства можно провести перпендикуляр к данной плоскости и притом только один.
• Прямая, пересекающаяся с плоскостью, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости. Точка пересечения наклонной с плоскостью называется основанием наклонной.
• Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и несколько наклонных, то:
а) наклонные, имеющие равные проекции, равны;
б) среди неравных наклонных та больше, проекция которой больше.
• обратная теорема: Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и какие-нибудь наклонные, то равные наклонные имеют равные проекции, и среди неравных проекций та больше, которая соответствует большей наклонной.
• Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок прямой, проведенной на плоскости между основаниями перпендикуляра и наклонной.
• Проекцией прямой на плоскость называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных со всех точек этой прямой на плоскость. Очевидно, проекция прямой есть также прямая линия.
• теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.
• обратная теорема: Прямая АВ, проведенная на плоскости Р через основание наклонной МС перпендикулярно к этой наклонной, перпендикулярна и к ее проекции СО.
• Под углом между плоскостью и прямой, которая пересекает эту плоскость, понимают угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Этот угол имеет то свойство, что он наименьший среди всех углов, которые наклонная образует с прямыми, проведенными на плоскости через основание наклонной.
• Фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой называется двугранным углом. Прямая АВ называется ребром, а полуплоскости Р и Q — сторонами или гранями двугранного угла.
• Если из произвольной точки М ребра АВ восстановить в каждой грани перпендикуляры МК и МN к ребру, то полученный угол называется линейным углом двугранного угла.
• Два двугранных угла называются равными, если они при вложении совмещаются. Если же двугранные углы не равны, то тот считается меньшим, который составляет часть другого.
• Подобно углам в планиметрии существуют смежные и вертикальные двугранные углы.
• Если два смежных двугранных угла равны, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
• Между двугранными и соответствующими им линейными углами существует следующая зависимость:
- равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы;
- большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
И обратно:
- равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы;
- большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
• Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые двугранные углы.
• Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
• Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости, есть перпендикуляр к этой плоскости.
• Фигура, образованная тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащими в одной плоскости, и тремя частями плоскостей, заключенными между этими лучами, называется трехгранным углом.
• Точка О называется вершиной, лучи ОА, 0В и ОС — ребрами, плоскости ОАВ, ОАC, ОСВ — гранями трехгранного угла. Углы АОВ, АОС, СОВ называются плоскими углами трехгранного угла.
• Во всяком трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов, но больше их разности.
• Трехгранные углы равны, если они имеют:
а) соответственно равные плоские углы, или
б) по равному двугранному углу, который расположен между двумя равными и одинаково расположенными плоскими углами, или
в) по равному плоскому углу, который расположен между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами.
• Несколько плоскостей, пересекающихся в одной точке, образуют фигуру, которая называется многогранным углом.
Для многогранного угла сохраняются все определения, данные для трехгранного угла.
• Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от каждой своей грани, неограниченно продолженной.
• Во всяком выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4d (2π или 360о).
МНОГОГРАННИКИ
• Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями, а стороны и вершины граней — ребрами и вершинами многогранника.
• Отрезки прямых, соединяющие две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника.
• Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой своей грани, неограниченно продолженной.
ПРИЗМА
• Призмой называется многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные — параллелограммы, плоскости которых параллельны одной и той же данной прямой.
• Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы. Параллелограммы называются боковыми гранями, а их стороны называются боковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны.
• Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки одного основания на другое, называется высотой призмы.
• Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники, а высоты равны боковому ребру.
• Прямая призма называется правильной, если в её основании лежат правильные многоугольники. У правильной призмы все боковые грани - прямоугольники.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
• Призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом. Параллелепипеды бывают прямые и наклонные. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если в его основаниях лежат прямоугольники.
• Три ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины, называются его измерениями.
• Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
• В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны, все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
• В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
ПИРАМИДА
• Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием,— многоугольник, а все остальные грани, которые называются боковыми гранями,— треугольники, имеющие общую вершину.
• Общая вершина S боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды.
• Пирамида называется правильной, если в основании её лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота SM такого треугольника называется апофемой пирамиды.
• Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.
• Часть пирамиды, расположенной между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними — высотой усеченной пирамиды.
• Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
- боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
- в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
- площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
ЦИЛИНДР
• Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая движением прямой линии, перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей при этом данную линию. Движущаяся прямая называется образующей, а линия, вдоль которой движется образующая, называется направляющей.
• Цилиндром называется тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.
• Часть цилиндрической поверхности, заключенной между параллельными плоскостями, называется боковой поверхностью. Части параллельных плоскостей, отсекаемые цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой.
• Если образующие перпендикулярны к плоскости основания, цилиндр называется прямым. Прямой цилиндр называется круговым, если его основания — круги.
• Сечение кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.
КОНУС
• Конической поверхностью называется поверхность, описываемая движущейся прямой так, что при перемещении она постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает некоторую данную линию.
• Движущаяся прямая называется образующей, точка S и линия, через которые проходят образующие, называются соответственно вершиной и направляющей конической поверхности.
• Конусом называется тело, ограниченное частью замкнутой конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины.
• Часть конической поверхности, отсекаемая плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая конической поверхностью,— основанием конуса.
• Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса.
• Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а вершина проектируется в центр основания. Сечение прямого конуса (кругового) плоскостью, параллельной основанию, есть круг.
• Часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом
• Параллельные круги называются его основаниями, а расстояние между основаниями — высотой усеченного конуса.
ШАР
• Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром шара.
• Отрезок прямой, соединяющий центр с какой-нибудь точкой шаровой поверхности, называется радиусом.
• Отрезок прямой, соединяющий две точки шаровой поверхности, называется хордой.
• Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
• Шаровую поверхность можно определить еще как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг диаметра.
• Тело, ограниченное шаровой поверхностью, называется шаром или сферой.
• Всякое сечение шара есть круг, причем радиус этого круга определяется по формуле:
r 2 = R 2 - d 2
где r - радиус круга, R - радиус шара, d - расстояние секущей плоскости от центра.
• Сечения шара плоскостью обладают следующими свойствами:
а) сечения, равноотстоящие от центра, равны;
б) из двух сечений, неодинаково удаленных от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус;
в) наибольший радиус имеет то сечение, которое проходит через центр шара. В этом случае сечение имеет радиус, равный радиусу шара, а само сечение называется большим кругом.
• Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.
• Часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее какой-нибудь плоскостью, называется сегментной поверхностью.
• Часть шаровой поверхности, заключенной между двумя параллельными секущими плоскостями АА1 и ВВ1 называется шаровым поясом или зоной.
• Окружности сечения АА1 и ВВ1 называются основаниями, а расстояние KL между параллельными плоскостями — высотой пояса.
• Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью.
• Теорема: Плоскость, перпендикулярная к радиусу в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная плоскость.
• Обратная теорема: Касательная плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
• Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии вокруг неподвижной прямой.
• Линия, которая вращается, называется образующей, а прямая, вокруг которой вращается образующая, называется осью вращения.
• Любая плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, дает в сечении окружность.
• Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия ее пересечения с поверхностью вращения — меридианом. Все меридианы равны между собой.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
• Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. При этом под перпендикулярным сечением понимается многоугольник, получаемый от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.
• Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы обоих оснований на апофему.
• Чтобы получить полную площадь поверхности многогранника, нужно к его площади боковой поверхности прибавить площади оснований.
• Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Если обозначить радиус окружности основания цилиндра через г, его высоту через h, то площадь боковой поверхности выражается формулой:
Sб =2πrh
Чтобы получить полную площадь поверхности цилиндра, нужно к боковой поверхности Sб прибавить площади оснований, которые равны πr 2 каждая. Поэтому полная поверхность цилиндра равна:
Sб =2πrh + 2πr 2 = 2πr (h + r)
• Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.
Sб =2πr *L/2 = πr L
• Полная площадь поверхности конуса равна:
Sб =πr L + πr 2 = πr (L + r)
• Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую:
Sб = π L (R + r)
где L — длина образующей, R — радиус окружности нижнего основания, r — радиус окружности верхнего основания.
• Полная площадь поверхности усеченного конуса равна:
Sб = π (R 2 + r 2 + RL + rL)
• Теорема о боковой поверхности цилиндра, конуса и усеченного конуса: Площадь боковой поверхности каждого из этих трех тел равна произведению высоты на длину окружности, радиус которой равен длине перпендикуляра, восстановленного к образующей из ее середины до пересечения с осью.
Поверхность шара и его частей.
• Под поверхностью шарового пояса, образованного вращением части полуокружности вокруг диаметра, понимают предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением около этого диаметра вписанной в дугу правильной ломаной линии, если число сторон этой ломаной неограниченно увеличивать путем последовательного удвоения.
Это же определение справедливо для поверхности шарового сегмента и для самого шара.
• Площадь поверхности шарового пояса и шарового сегмента равна произведению длины окружности большого круга на высоту.
Sб = 2 π R h
где R - радиус шара, h - высота сегмента и шарового пояса.
Поскольку сам шар можно рассматривать как шаровой пояс с высотой 2R, то площадь поверхности шара равна:
Sб = 4 π R 2
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ
• Величина части пространства, занимаемая геометрическим телом, называется объемам этого тела.
• Объему всякого геометрического тела соответствует некоторое число, измеряющее этот объем. Это число должно удовлетворять следующим условиям:
- объем тела есть число неотрицательное;
- объем тела, составленного из нескольких тел без общих внутренних точек, равен сумме объемов этих тел;
- объемы равных тел равны между собой.
• При вычислении объемов за единицу измерения принимают объем куба, ребро которого равно единице.
• Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Объемы многогранников
• Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, а объем куба равен кубу его ребра
V = а • b • с
где а, b, с — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.
Если а = b = с, то V = а 3.
• Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
V = S • H
где S — площадь основания, H — высота призмы.
• Теорема: Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота равна ее боковому ребру.
V = Sпс • l
где Sпс — площадь перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра призмы.
• Объем пирамиды равен произведению площади основания на одну треть высоты:
V =1/3 • S • H
• Объем усеченной пирамиды равен сумме объемов трех пирамид, имеющих высоту, равную высоте этой усеченной пирамиды, а основания соответственно равны: одной — нижнему основанию данной пирамиды, другой — верхнему основанию, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.
Объем цилиндра и конуса
• Под объемом цилиндра понимают общий предел объемов вписанных в цилиндр и описанных около него правильных одноименных призм, когда число сторон каждого основания неограниченно увеличивается путем последовательного удвоения.
Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания являются многоугольниками, вписанными в основания цилиндра. Аналогично определяется описанная около цилиндра призма.
• Под объемом конуса понимают общий предел объемов вписанных в конус и описанных вокруг него правильных одноименных пирамид, когда число сторон каждого основания неограниченно увеличивается путем последовательного удвоения.
• Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
V = π R 2 H
где R - радиус круга основания, H - высота цилиндра.
• Объем конуса равен произведению площади основания на одну треть высоты:
V = 1/3 • π R 2 H
• Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих высоту, равную высоте этого усеченного конуса, с основаниями равными:
один — нижнему основанию данного усеченного конуса,
другой — верхнему основанию,
площадь основания третьего равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего основания.
V = 1/3 • π H(R 2 + r 2 + R • r)
Объем шара и его частей
• Тело, образованное вращением кругового сектора вокруг диаметра, не пересекающего его площади, называется шаровым сектором. Это тело ограничено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового пояса. Поверхность шарового пояса называется основанием шарового сектора.
• Под объемом шарового сектора, полученного вращением вокруг диаметра кругового сектора, понимают предел, к которому стремится объем тела, получаемого вращением многоугольного сектора, ограниченного правильной ломанной линией, вписанной в дугу кругового сектора, и двумя радиусами, проведенными в концы ломаной, когда число сторон его неограниченно увеличивается путем последовательного удвоения.
•Теорема:Объем шарового сектора равен произведению площади поверхности его основания на одну треть радиуса.
Из этой теоремы следует, что объем шара равен произведению площади его поверхности на одну треть радиуса:
V = 4/3 • π R 3 H
• Теорема зависимости между поверхностью и объемом шара и описанного вокруг него цилиндра:
Поверхность и объем шара соответственно составляет 2/3 полной поверхности и объема цилиндра, описанного вокруг шара.
Умное лицо - это еще не признак ума. Все глупости в мире совершаются именно с этим выражением лица... Улыбайтесь господа, улыбайтесь!
|
| |
| |
